Introduction aux mathématiques de la théorie du signal.

Contents

1 QUELQUES ELEMENTS INDISPENSABLES.                            8
1.1 L'équation aux dimensions                                  8
1.2 fonctions paires et impaires                              11
1.3 La fonction de Dirac                                      14
1.4 La fonction échelon                                       17
1.5 L’exponentielle imaginaire                                19
1.6 La fonctionne gaussienne                                  21
1.7 La fonction lorentzienne                                  24
1.8 intégrabilité d’une fonction                              26
1.9 Les principales méthodes de calcul 
analytique d’intégrales inconnues                             28
1.10 Exercices proposés                                       31

2 LA TRANSFORMEE DE FOURIER                                   33
2.1 Introduction                                              33
2.2 définition et existence                                   34
2.3 Propriétés                                                35
2.4 exemple et comportement à l’infini                        37
2.5 transformée de Fourier inverse et théorème de Fourier     40
2.6 Fonction de Dirac et théorème de Fourier                  42
2.7 Autres conventions pour la transformée de Fourier         43
2.8 La transformée de Fourier en sinus et cosinus             43
2.9 La transformée de Fourier à trois dimensions              45
2.10 La formule de Parseval                                   48
2.11 Application I : Transformée de Fourier d’une gaussienne  49
2.12 Application II : Transformée de Fourier de e –a?x?       50
2.13 Application III : Transformée 
de Fourier d’une lorentzienne                                 52
2.14 Transformée de Fourier de la fonction échelon            53
2.15 Dérivation de la fonction de 
Dirac et d’autres distribution                                56
2.16 Exercices proposés                                       57

3 LES FILTRES LINEAIRES ET LA CONVOLUTION                     59
3.1 Introduction                                              59
3.2 Quelques définitionS                                      60
3.3 Echantillonnage d’un signal                               61
3.4 Réponse impulsionnelle et convolution                     62
3.5 Le produit de convolution                                 62
3.6 Transformée de Fourier du produit de convolution          65
3.7 Transformée de Fourier d’un produit de fonction           66
3.8 Application : produit de convolution de deux lorentzienne 67
3.9 autres fonctions associées à un filtre                    68
3.10 La cellule RC comme exemple de filtre                    69
3.11 Le système masse-ressort comme filtre linéaire           72
3.12 Relation de dispersion. Transformée de Hilbert           75
3.13 Exercices résolus                                        75
3.14 Exercices proposés                                       81

4. QUELQUES ELEMENTS D’ANALYSE NUMERIQUE                      82
4.1 solution numérique d’une équation. 
Méthode de Newton-Raphson                                     82
4.2 Approximation d’une fonction par un polynôme              88
4.3 Estimation des intégrales définies                        96
4.4 Exercices                                                110

5.FONCTIONS PERIODIQUES ET SERIES DE FOURIER                 113
5.1 Définitions et exemples                                  113
5.2 Convolution d’un motif avec un peigne de Dirac           115
5.3 Développement en série de Fourier 
d’une fonction périodique                                    115
5.4 Forme complexe des séries de Fourier                     120
5.5 Dérivation des séries de Fourier                         122
5.6 Transformée de Fourier des fonctions périodiques         125
5.7 Le théorème de Parseval                                  127
5.8 Séries de Fourier d’un signal nul en 
dehors d’un intervalle fini                                  127
5.9 Exercices proposés                                       129

6. LA TRANFORMEE DE FOURIER NUMERIQUE                        132
6.1 Calcul numérique des coefficients de Fourier             132
6.2 Propriétés des diverses puissances de wN                 133
6.3 Inversion de la transformée de Fourier discrète          135
6.4 série de Fourier tronquée                                135
6.5 Transformée de Fourier discrète. Résumé                  135
6.6 L’algorithme de la transformée de Fourier rapide         136
6.7 Application à la transformée de Fourier numérique        138
6.8 Exercice                                                 139
6.9 Exemple de programmation : l’algorithme dans DERIVE      140
6.10 Les problèmes posés par la numérisation du signal       142
6.11 Exercices proposés                                      148

7. L’ANALYSE TEMPS-FREQUENCE                                 149
7.1 Introduction                                             149
7.2 La transformée de Fourier à fenêtre glissante            150
7.3 L’analyse par ondelettes                                 153

8. SOLUTION DES EXERCICES PROPOSES                           158
8.1 Chapitre 1                                               158
8.2 Chapitre 2                                               159
8.3 Chapitre 3                                               161
8.4 Chapitre 4                                               161
8.5 Chapitre 5                                               162
8.6 Chapitre 6                                               164

APPENDICE I : FONCTIONS PARTICULIERES                        165
APPENDICE II : TRANSFORMEE DE FOURIER                        166
APPENDICE III : REPRESENTATIONS DE LA FONCTION DE DIRAC      167