06 3012405004818 Ciaco scrl onixsuitesupport@onixsuite.com 20260809T1422Z fre

COM.ONIXSUITE.9782874560910 03 02 i6doc 02 2874560910 03 9782874560910 15 9782874560910 02 01 00 BC 01 9.45 in 02 6.69 in 08 8.64 oz 01 24 cm 02 17 cm 08 245 gr 10 01 02 Publications des Editions de l'Université de Liège avant la réforme des Presses Universitaires de Liège 03 Si les mathématiques m'étaient contées 01 01 Vers une modélisation algébrique des points, droites et plans 1 A01 01 Onixsuite Contributor ID 15750 Catherine Lebeau Lebeau, Catherine Catherine Lebeau Catherine Lebeau enseigne à de futurs professeurs de mathématiques du cycle secondaire inférieur à la Haute Ecole HELMo de Liège en Belgique. 2 A01 01 Onixsuite Contributor ID 14429 Maggy Schneider Schneider, Maggy Maggy Schneider Maggy Schneider est professeure à l'Université de Liège. Au cours de sa carrière, elle a acquis une expérience diversifiée : professeure en didactique des mathématiques à l'Université, chercheuse reconnue dans ce domaine, directrice de recherches, professeure de mathématiques dans l'enseignement secondaire, formatrice d'enseignants et co-auteure de programmes scolaires, elle a le souci d'articuler les réalités du terrain et les avancées scientifiques en matière d'apprentissage et d'enseignement des mathématiques. Elle est également membre de commissions nationales et internationales diverses dont la volonté est d'améliorer l'enseignement de cette discipline. 01 fre 00 138 03 12 P 12 PBF 01 06 22 00 03 00 D'un point de vue mathématique, la manière la plus élégante d'introduire la géométrie analytique à trois dimensions est de la subordonner à l'algèbre linéaire : on définit d'entrée de jeu les droites et les plans de manière vectorielle pour en tirer ensuite les écritures paramétriques et, in fine, les équations cartésiennes. Et c'est ce qui explique le succès d’une approche semblable dans l’enseignement secondaire, laquelle emprunte à l’algèbre linéaire des éléments emblématiques sans toutefois en respecter l’architecture déductive complète. Ainsi, on passe sous silence des théorèmes jugés trop difficiles à ce niveau, en particulier celui qui justifie le passage des égalités vectorielles aux égalités paramétriques, lequel est alors réduit au statut de "recette". Plusieurs recherches montrent qu’un tel enseignement, relativement axé sur les procédures, néglige souvent certaines phases de cet apprentissage, considérées comme "allant de soi", alors qu’elles suscitent des questions de la part des élèves ou sont source d’erreurs significatives dans les registres cartésien et paramétrique. Le présent projet permet de travailler ces apprentissages négligés en commençant par articuler intuitions géométriques, d’une part, écritures cartésiennes et paramétriques, d’autre part, pour construire ensuite et progressivement le registre vectoriel. Il propose une structure globale de cours composée de phases exploratoires "mimant" un déroulement probable dans les classes et de synthèses théoriques. Mais il donne aussi des idées d’activités s’intégrant dans une approche plus classique. 02 00 D'un point de vue mathématique, la manière la plus élégante d'introduire la géométrie analytique à trois dimensions est de la subordonner à l'algèbre linéaire : on définit d'entrée de jeu les droites et les plans de manière vectorielle... 03 02 D'un point de vue mathématique, la manière la plus élégante d'introduire la géométrie analytique à trois dimensions est de la subordonner à l'algèbre linéaire : on définit d'entrée de jeu les droites et les plans de manière vectorielle pour en tirer ensuite les écritures paramétriques et, in fine, les équations cartésiennes. Et c'est ce qui explique le succès d'une approche semblable dans l’enseignement secondaire, laquelle emprunte à l’algèbre linéaire des éléments emblématiques sans toutefois en respecter l’architecture déductive complète. Ainsi, on passe sous silence des théorèmes jugés trop difficiles à ce niveau, en particulier celui qui justifie le passage des égalités vectorielles aux égalités paramétriques, lequel est alors réduit au statut de "recette". Plusieurs recherches montrent qu’un tel enseignement, relativement axé sur les procédures, néglige souvent certaines phases de cet apprentissage, considérées comme "allant de soi", alors qu’elles suscitent des questions de la part des élèves ou sont source d’erreurs significatives dans les registres cartésien et paramétrique. Le présent projet permet de travailler ces apprentissages négligés en commençant par articuler intuitions géométriques, d’une part, écritures cartésiennes et paramétriques, d’autre part, pour construire ensuite et progressivement le registre vectoriel. Il propose une structure globale de cours composée de phases exploratoires "mimant" un déroulement probable dans les classes et de synthèses théoriques. Mais il donne aussi des idées d’activités s’intégrant dans une approche plus classique. 04 00 1 Explorations 7 1Interprétation géométrique d'équations 9 1.1 Une équation qui se prête à priori à une double interprétation 10 1.2 D'une parabole à un cylindre parabolique 11 1.3 Jeux sur les variables 12 1.4 Bilan de la première exploration 13 2 Equations de plans particuliers 15 2.1 Equation d'un plan parallèle à l’axe Ox 15 2.2 Equation d’un plan de coordonnées 16 2.3 Equation d’un plan parallèle à un plan de coordonnées 16 3 Positions relatives de deux plans 19 3.1 Plans confondus 19 3.2 Plans parallèles 19 3.3 Plans sécants 20 4 Positions relatives de droites 21 4.1 Droites parallèles 21 4.2 Le quatrième sommet d’un parallélogramme 23 4.3 Deux écritures pour une même droite 24 4.4 Calcul du point d’intersection de deux droites 25 5 Coplanarité de points et caractérisations algébriques des plans 27 5.1 Points coplanaires avec l’origine 27 5.2 Points appartenant à un même plan ne passant pas par l’origine 29 6 Alignement de points et caractérisations algébriques des droites 31 6.1 Points alignés avec l’origine 31 6.1.1 Vérifier que deux points sont alignés avec l’origine 31 6.1.2 Trouver tous les points d’une droite passant par l’origine 35 6.2 Points alignés sur une droite qui ne passe pas par l’origine 35 6.2.1 Vérifier que trois points sont alignés 35 6.2.2 Trouver l’écriture de tous les points d’une droite 36 7 Orthogonalité et perpendicularité 39 7.1 Droites orthogonales 39 7.2 Un exemple de droite perpendiculaire à un plan 40 7.3 Un exemple de plan perpendiculaire à une droite 40 7.4 Un exemple de droite perpendiculaire à une autre 41 8 Positions relatives de trois plans et systèmes linéaires 43 8.1 Un inventaire a priori 43 8.2 Trois plans ayant un seul point commun 43 8.3 Trois plans dont deux sont confondus et le troisième est parallèle disjoint 46 8.4 Trois plans se coupant en une droite 47 II Synthèses théoriques 51 9 Repérage dans l’espace 53 9.1 Repérage dans l’espace 53 9.2 Repérage et repère orthonormé de l’espace 54 9.2 Coordonnées d’un point dans l’espace 54 10 Des équations de base dans l’espace 57 11 Caractérisations analytiques des droites 59 11.1 Caractérisation algébrique de l’alignement de points 59 11.2 Equations paramétriques d’une droite 61 11.3 Equations paramétriques des axes 63 11.4 Equations cartésiennes d’une droite 63 12 Parallélogrammes, translations et positions relatives de droites 65 12.1 Une caractérisation algébrique des parallélogrammes 65 12.2 Translattion : définition et propriétés 67 12.3 Positions relatives des droites 69 12.3.1 Plusieurs écritures algébriques d’une même droite 69 12.3.2 Droites parallèles 70 12.3.3 Droites gauches et droites sécantes 71 13 Caractérisations analytiques des plans 73 13.1 Plans passant par l’origine : équations paramétriques et équations cartésienne 73 13.1.1 Equations paramétiques 73 13.1.2 Equation cartésienne 75 13.2 Plans ne contenant pas l’origine 76 14 Positions relatives de deux plans ou d’une droite et d’un plan 79 14.1 Plans confondus 79 14.2 Plans parallèles distincts 80 14.3 Plans sécants 80 14.4 Positions relatives de droites et de plans 80 15 Points de vue unificateurs 83 15.1 Degré de liberté, dimension et nombre d’équations 83 15.2 Caractérisation vectorielle des droites et des plans 85 16 Distance et produit scalaire 87 16.1 Distance entre deux points 87 16.2 Condition nécessaire de la perpendicularité entre deux droites et produit scalaire 89 17 La perpendicularité dans l’espace 91 17.1 Orthogonalité de vecteurs et de droites 91 17.2 Droite et plan perpendiculaires 92 17.3 Plans perpendiculaires 95 18 Résolution de systèmes linéaires 3 x 3 97 18.1 Systèmes équivalents et faisceaux de plans 97 18.2 Déterminant 100 18.3 Plans parallèles ou confondus 103 18.4 Plans formant un faisceau 104 18.5 Plans formant une «tente» 105 18.6 Plans sécants en un point 106 18.7 Une arborescence algébrique 107 18.8 Interprétations de l’annulation du déterminant 108 18.8.1 Coplanarité 108 18.8.2 Parallélisme d’une droite et d’un plan 109 19 Un chassé-croisé entre géométrie et physique en guise d’application 111 19.1 Du barycentre de deux points pondérés au rapport de section 111 19.2 Médianes d’un triangle, centre de gravité et barycentre de trois points pondérés 114 19.2.1 Propriétés des médianes d’un triangle 114 19.2.2 Centre de gravité d’un triangle 118 19.2.3 Barycentre de trois points pondérés 119 19.3 Propriétés d’un tétraèdre, centre de gravité et barycentre de quatre points pondérés 123 20 A la recherche des prérequis théoriques 129 20.1 Propriétés des projections parallèles 129 Bibliographie 01 00 03 02 http://www.i6doc.com/resources/titles/28001100493920/images/7abdfbd11b37a9f822fb1ffefb860a31/THUMBNAIL/9782874560910.jpg 09 00 03 02 01 D503 https://i6doc.com/resources/publishers/64.png Presses universitaires de Liège 01 01 Dilicom PULIEGE Presses universitaires de Liège 04 01 20090615 11 20090615 02 WORLD 02 01 GCOI 28001100493920 WORLD 04 03 06 3012405004818 CIACO - DUC 33 www.i6doc.com http://www.i6doc.com 01 2 20 1 02 00 02 02 STD 02 22.50 01 R 6.00 21.23 1.27 EUR