Cours d'analyse infinitésimale de Charles-Jean de La Vallée Poussin

Contents

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Reconstruction de la troisième édition inédite du Tome II du Cours d'Analyse infinitésimale de Charles-Jean de La Vallée
Poussin, par J. Mawhin et A. Ponce vii

Reconstructing the unpublished third edition of Volume II of Charles-Jean de La Vallée Poussin’s Cours d’Analyse infinitésimale, by J. Mawhin and A. Ponce xxvii

Références. Bibliography. xlvii

Avertissement (1re édition) lv

Préface (2e édition) lvii

Les numéros en chiffres arabes renvoient à la pagination réelle, indiquée entre parenthèses au bas des pages.

I. Théorie élémentaire des intégrales multiples 1

§1. Intégrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

§2. Déterminants fonctionnels. Transformation des intégrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

§3. Aire des surfaces courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

§4. Formules usuelles de cubature et de quadrature. Applications . 32

§5. Intégrales de surface. Volumes en coordonnées curvilignes . . . 41

II. Intégrales généralisées et fonctions d’un paramètre.

Intégration des différentielles totales exactes. 53

§1. Intégrales généralisées élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

§2. Intégration et dérivation des intégrales définies par rapport à un paramètre. Convergence uniforme des intégrales
généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

§3. Calcul d’intégrales définies par des artifices divers . . . . . . . . 79

§4. Intégration des différentielles totales . . . . . . . . . . . . . . . . 87

§5. Intégrales curvilignes qui ne dépendent que de leurs limites . . 91

III. Intégrales multiples de Riemann et de Lebesgue 100

§1. Intégrale multiple de Riemann. Ensembles mesurables (J) . . . 100

§2. Mesure des ensembles au sens de Borel–Lebesgue. Fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

§3. Intégrale multiple de Lebesgue. Fonctions sommables . . . . . . 109

§4. Dérivation des fonctions additives et absolument continues.

L’intégrale indéfinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

§5. Dérivation (sur un réseau) des fonctions additives et à variation bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

§6. Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

§7. Réduction des intégrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

§8. Application à la dérivation sous le signe et aux intégrales curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

IV. Représentation analytique des fonctions.

Séries de polynomes et séries trigonométriques. 147

§1. Approximation des fonctions continues d’une variable par des polynomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

§2. Approximation par des polynomes des fonctions continues de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

§3. Séries de Fourier. Conditions nécessaires et suffisantes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 

§4. Critères de convergence des séries de Fourier . . . . . . . . . . . 170

§5. Exemples de développements en séries de Fourier . . . . . . . . . 175

§6. Séries de Fourier quelconques. Sommation. Singularités. . . . . 178

§7. Séries trigonométriques quelconques. Unicité du développement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

V. Équations différentielles ordinaires. Généralités.

Équations du premier ordre. 205

§1. Formation des équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . 205

§2. Généralités sur les intégrales des équations différentielles.

Théorèmes d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

§3. Équations du 1er ordre et du 1er degré. Facteur intégrant . . . . 221

§4. Équation du 1er ordre non résolues par rapport à y′ . . . . . . . . 234

§5. Applications géométriques des équations du 1er ordre . . . . . . 240

VI. Équations différentielles ordinaires (suite).

Équations d’ordre supérieur au 1er. Systèmes d’équations. 246

§1. Équations linéaires sans second membre. Wronskiens . . . . . . 246

§2. Équations linéaires avec second membre. Abaissement de l’ordre des équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

§3. Multiplicateurs des équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . 261

§4. Intégration des équations linéaires à coefficients constants et sans second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

§5. Intégration des équations linéaires à coefficients constants avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

§6. Intégration par les séries de certaines équations linéaires du second ordre. Équations de Bessel et de Riccati . . . . . . . . . . 279

§7. Intégration ou réduction d’équations différentielles par des procédés particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

§8. Applications géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

§9. Systèmes d’équations différentielles. Systèmes linéaires . . . . . 305

VII. Équations linéaires aux dérivées partielles et aux différentielles totales 317

§1. Formation d’équations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . 317

§2. Propriétés des déterminants fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . 321

§3. Équations linéaires et homogènes aux dérivées partielles . . . . 325

§4. Équations linéaires quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

§5. Intégration d’une seule équation aux différentielles totales . . . 340

§6. Système d’équations aux différentielles totales . . . . . . . . . . 350

§7. Système d’équations linéaires et homogènes par rapport aux dérivées partielles d’une même fonction inconnue . . . . . . . . . 354

VIII. Notions sur le calcul des variations et le calcul des différences 365

§1. Calcul des variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

§2. Calcul des différences finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

§3. Nombres et polynomes de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

§4. Formules d’Euler et de Maclaurin. Relations entre les sommes et les intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

§5. Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

IX. Applications géométriques complémentaires 410

§1. Points singuliers des courbes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

§2. Asymptotes des courbes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

§3. Théorie du contact. Courbes et surfaces osculatrices . . . . . . . 424

§4. Enveloppes des courbes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436

§5. Enveloppes des surfaces et des courbes de l’espace . . . . . . . . 441

§6. Systèmes de droites : Surfaces réglées ; Congruences . . . . . . . 447

§7. Application aux courbes gauches. Surface polaire. Développées . 459

§8. Courbures des lignes tracées sur une surface . . . . . . . . . . . . 464

Errata 489

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